المبتدأ منه مساويا للعدد الأخير ، فإن زيد مرّة أخرى وضرب في عدد المراتب كما هو كان مثل ضعف جملة مجموع الأعداد ؛ ومثاله لو قال لك قائل خمسة أعداد متتالية تبتدئ من الأربعة وبين كل عددين ثلاثة حتى يكون التفاضل بأربعة أربعة ، ما آخرها وكم مجموعها ؟ فإذا نقصت واحدا من الخمسة حتى حصل لك أربعة ، فضربته في عدد التفاضل وهو أربعة كان ستة عشر ، فإذا زدت عليها أولها كان عشرين ، فقد خرج لك العدد الأخير . لأن مراتب الأعداد تكون أربعة ثم ثمانية ثم اثني عشر ثم ستة عشر ثم عشرين ، فإذا زدت على عشرين أربعة أيضا كان أربعة وعشرين ، فإن شئت اضربه في خمسة فيكون مائة وعشرين فخذ نصفه فهو مجموع المراتب ، وإن شئت اضرب نصفه في المراتب أو جميعه في نصف المراتب ، وكيفما يعمل فهو جواب المسألة . ( شحس ، 22 ، 1 ) - من الخواص المتعلّقة بالجمع أن كل أعداد متتالية تبتدئ من الواحد ، إذا جمعت مبتدأة من الواحد إلى آخرها ، ثم مرجوعا من آخرها إلى الواحد ، مثل واحد اثنين ، ثلاثة ، أربعة ، ثلاثة ، اثنين ، واحد فمجموعها مساو لمربّع العدد الأخير فإن مجموع ما مثلنا به ستة عشر . وتحصيل هذا أن ضعف مجموع الأعداد التي دون المرتبة الأخيرة مع الذي في المرتبة الأخيرة مساو لمربّع العدد الأخير . ( شحس ، 22 ، 14 ) - من الخواص المتعلّقة بالجمع أنك إذا جمعت أعدادا متوالية من الواحد ، فالمجموع الأول مثل ونصف العدد الأخير ، والمجموع الثاني ضعف العدد الأخير ، والمجموع الثالث ضعف ونصف العدد الأخير ، والمجموع الرابع ثلاثة أضعاف العدد الأخير ، والمجموع الخامس ثلاثة أضعاف ونصف العدد الأخير ، وكذلك إلى غير نهاية . مثاله واحد ، اثنان ، فإنه مثل ونصف الاثنين وواحد ، اثنان ثلاثة ، فإنه ضعف ثلاثة ، وواحد ، اثنان ثلاثة ، أربعة ، فإنه ضعف ونصف الأربعة ، وواحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ، خمسة . فإنه ثلاثة أضعاف خمسة ، وواحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ، خمسة ، ستة ، فإنه ثلاثة أضعاف ونصف ستة . وأيضا فإن كل أعداد متوالية نجمعها بهذا الجمع ، فإن المجموع الأول يكون مثل العدد الذي يتلوه والمجموع الثاني مثل ونصف للعدد الذي يتلوه والمجموع الثالث ضعف العدد الذي يتلوه ، وكذلك إلى غير النهاية . مثاله أن الواحد والاثنين مثل ثلاثة ، والواحد والاثنان والثلاثة مثل ونصف أربعة ، فإن زدت أربعة كان ضعف خمسة ، وإن زدت خمسة كان ضعف ونصف ستة . ( شحس ، 22 ، 19 ) أعداد مثلّثة - كل ضلع مثلّث ( من الأعداد المثلّثة ) فهو أقلّ عددين متتاليين بضرب أحدهما في الآخر ، فيكون منه ضعف مثلّثه ، حتى لو